サクシードブログ

2020/06/03

集合は数学の基礎
ほとんどの数学の基礎は集合にある大切な概念です。しかし，中学生・高校生が数学の中で集合をハッキリと意識することはそれほどないと思います。中学・高校数学でも「場合の数」や「確率」などの分野で積極的に集合を扱う場面もあるため，集合の扱いには慣れておく必要があります。
集合の基礎知識集合は以下のように定義します。数学的な対象の集まりを集合という。たとえば、1以上10以下の整数の集合。1以上10以下の実数の集合。自然数全部の集合。など集合には様々なものが考えられます。厳密に集合を定義していなくても、小学生・中学生の範囲で困ることはまずあり得ませんから、集合とは「数などの数学的なモノの集まり」とざっくり思っていて大丈夫です。
集合の表し方①
集合を構成する１つ１つの対象を要素(または元ゲン)という。たとえば、「6の正の約数の集合」をAとするとき、1,2,3,6はいずれもAの要素です。集合の表し方…集合は中括弧{　　}で要素を括ることで表すことができます。たとえば、「1と3と5と7を要素とする集合」は{1,3,5,7}「12の正の約数全部の集合」は{1,2,3,4,6,12}「正の偶数全部の集合」は{2,4,6,8,10･･･}「整数全部の集合」は{･･･-2,-1,0,1,2,･･･}などと表します(このように，要素を書き並べて表す方法を「内包的記法」)数の集合について丁寧に個別指導できる個人塾です。
集合の表し方②
また，12の約数全部の集合{1,2,3,4,6,12}は{x｜xは12の約数}と表すこともできます．これはどういう表し方かというと、前の {x｜ 　の部分で，まず「この集合は x 全部の集合である」と宣言し、後ろの｜xは12の約数}の部分で、「 x は12の約数である」と宣言しています。併せて、「 x は12の約数であり，この集合は x全部の集合である」ということになります。(このように、「要素」と「要素が満たす条件」で表す方法があります)たとえば，{2n-1｜n=1,2,3,･･･}は「正の整数nに対して，2n-1と表せるものの集合」、{2n｜n=1,2,3,･･･}は「正の整数nに対して，2nと表せるものの集合」という意味になります。実際に要素を書き並べると、それぞれ{1,3,5,7,9,･･･}(正の奇数全部の集合)、{2,4,6,8,10,･･･}(偶数全部の集合)となります。この条件を用いて表す方法を用いると、書き並べて表すことができない集合も表すことができます。集合の要素と部分集合x が集合Aが要素であるとき，x∈Aと書き、 x はAに属するという。たとえば，A={･･･,-6,-3,0,3,6,･･･} (3の倍数の集合)とするとき、3∈A、6∈A、-24∈Aなどとなります。
集合は数学の出発点です。小学生・中学生の頃から、集合（物の集まり）の考え方に慣れてほしいと思います。指導の合間にも数学的な雑談ができるのも個別指導塾・個人塾サクシードの良いところです。