サクシードブログ

2026/2/4

★高校数学への招待状★思考の「ひっくり返し」で世界が変わる？
受験シーズンもいよいよ佳境。
塾の教室で、必死に机に向かう中学生の皆さんの背中には、私たち講師も胸が熱くなります。
特に、中学3年生で入塾した生徒さんたちが、驚異的な追い込みで見せる「最後の伸び」は、本当にお見事です！
そんな皆さんが志望校を突破したあと、高校数学で最初に出会う「論理のパズル」を少しだけ先取りしてお話ししましょう。

1. 視点を変える「対偶（たいぐう）」の技
「数学が面白いなら、成績は上がる」という言葉、これと全く同じ意味を保ったまま、文章を裏返すのが「対偶」です。
「成績が上がらないなら、数学は面白くない（はずだ）」正面から証明するのが難しいとき、あえて裏口に回って正しさを証明する。賢い「言い換え」の技ですね。

2. あえて間違えて見せる「背理法（はいりほう）」
もう一つ、高校数学の真骨頂が「背理法」です。あえてウソの仮定をして、自爆を誘うドラマチックな証明術です。

√2の正体：左右で「因数の個数」が合わない！
例えば、**「√2 は無理数である」**ことを証明するために、あえて逆に**「√2 は有理数だ！(分数表示できる)」**と、
あり得ないウソの仮定をしてみます。
すると、これ以上約分できない分数(既約分数)として、次のように書くことができます。

「√2が分数（b/a）だ！」と仮定して「√2＝b/a」、両辺にaをかけて√2a＝b
二乗して、式を整理すると、こうなります。
​2 × a^2 = b^2　(a^2は、aの二乗･･a×a、 b^2は、bの二乗･･b×b)
この式の左側と右側で、含まれている「因数の総数」を数え比べると、一瞬で矛盾がわかります。
右側（b^2）の因数の個数は、絶対に【偶数個】
​bという数字が何であっても、それを2乗（b × b）すれば、そこに含まれる因数の個数は必ずペアになります。
​2乗された数字の因数の数は、**理屈抜きで絶対に「偶数個」**です。

左側（2 × a^2）の因数の個数は、絶対に【奇数個】
​a^2 の部分も、同じルールで因数の個数は「偶数個」になります。
ところが、その外側に**「2」という因数がもう1つ**掛け算されています。
「偶数個 ＋ 1個」になるので、**左側にある因数の総数は、絶対に「奇数個」**になってしまいます。

​結論：右と左で「数」が合わない！ワン
​「左は奇数個、右は偶数個。イコールで結ばれているのに、因数の総数が違うなんて絶対におかしい！」
​この**「個数の不一致」**こそが、√2が分数ではない（無理数である）という決定的な証拠です。

最後にこうした論理の美しさに触れると、数学は単なる計算ではなく、**「正しく考えるための武器」**だと気づきます。
小学生からコツコツ頑張ってきた子も、中3で一気にスパートをかけた子も、高校という新しい舞台では、ぜひ「知的な遊び心」を持って学んでほしいと願っています。
サクシードでの学びは、人生の通過点。でも、ここで培った「論理的に答えを導く力」は、一生モノの宝物になるはずです！