ブログ
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2022/10/29
できる子ほどよく間違える。
なぜなら挑戦しているから。
できない子ほど間違えない。
なぜなら挑戦していないから。
ピタゴラス数
①三平方の定理の逆を使うことで、３、 ４、 ５ の長さをもつ三角形は直角三角形になる。それを応用して古代ギリシアの人はピラミッドの底面の正方形の直角を作った。で、ついでにこれ以外に「整数の組で」直角三角形を作るもの(ピタゴラス数)はあるだろうか？三平方の定理を満たす３つの整数の組を「ピタゴラス数」という。「上の条件を満たす整数の組は無数にある」（１３、１２、５）（１７、１５、８）（２５、２４、７）（２９、２１、２０）など…。
②以前になるが、中学校に勤めていたとき、夏休みの講習に何をやってもいい、という方針で、中学１年生にピタゴラス数を題材に授業をしたことがある。まず ３、 ４、 ５ が三平方の定理を満たすことを確かめる。もちろん中1は三平方の定理を知らないから、関係式だけを示す。で、他にそのような組がないか探してご覧と促した。もちろん ６、 ８、 １０ といった倍数組は却下する。なかなか見つからないが、どのクラスでもそのうちにもう１つの組を見つける子が出てくる。（それが数学が苦手な子だったりするから、授業は面白い！）で、その２つを見比べて、３番目の組を探させる。
③さすがにこの辺になるとかなり大変。なので、どこに注目したらよさそうか、色々とヒントを出していくと、時間はかかるものの、３番目の組を見つけてくる。ここまで来ればしめたもの。３つの組に共通の性質を見つけさせ、４番目、５番目の組を予想させ、それが正しいことを計算で確かめさせる。
④これを一般的に計算させるには３年生でやる平方の展開公式や、２次方程式がいるので、中１ではそこまでできない。しかしピタゴラス数が無数にあることを納得させるのは容易である。また、規則性に注目して考えをふくらませていくという、数学ではよくやる考え方を経験してもらうのにもいい場所となった。
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2022/10/27
数学力を上げれば
女子力アップなのかもしれない
ピンクの点は何個ある？
どう求めるかで
数学的知性が見えるのかもしれない
「数学は役に立つ」
①数学の考え方を理解していなければ人との会話もままなりません。相手が言っていることの意味を理解するにはある程度の数学的思考、世に言う論理的思考が必要なのです。そういう考え方を直感的に理解出来る人なら、あえて数学を学ぶ必要はないでしょう。多くの人はそんな能力を持たない。なら数学を学ぶ事がそれを身に付ける最高の方法でありますので、多くの人にとっては数学を学ぶことが日常生活を円滑にするための最短の道であると言えます。
②「数学を使う仕事はたくさんある」数学の先生，学習参考書の出版社等，直接的に数学を使う仕事プログラマーやIT関係，金融系等，経済系等，大量のデータを扱い，統計的な処理が必要な仕事などちょっと考えただけでも，数学を使う仕事はたくさん見つかります。「数学を使わない仕事をしている人は捨て駒か？」仕事に限らず，何かしらを突き詰めていく過程で数学が必要になることは多いはずです。数学自体が大事なんじゃない，それを学ぶことで身につく論理的な考え方が大事なんです。
③世の中は数学でできている。目の前にしているこのディスプレイだって数学がなけれは存在しなかっただろう。実際，工学系では高校よりもっともっと難しい数学を使ってるし，みんなが大好きなゲームにはもちろん，座っている椅子を作るのにも数学は必要です。「なぜ？」の姿勢が算数の楽しさに…小学生が算数（数学）に取り組むときのこつは「定義」が重要です。たとえば長方形について聞くと「角ばってるやつでしょ？」と答える子もいますが、正しくは「すべての角が等しい四角形」です。
④定義がおろそかだと、議論がかみ合いません。次のポイントは問題を解くとき、なぜその公式で答えが出るのかを理解すること。公式や解き方を丸暗記するのはだめです。結果よりプロセス（過程）を大切にして下さい。自分で「なぜ」と考えて答えを出すほうが楽しいものです。ＡＩ（人工知能）が進化するなか、未知の問題に取り組む力が人間には求められています。保護者はいかにプロセスに目を向けさせるかが鍵。解き方を見て、いきなり「まちがいだよ」と指摘せずに「なぜ、こう思ったの」と聞くようにしましょう。 -
2022/10/24
数学を伸ばしたい人
実数の定義は「２乗すると０以上になる数」と言える人はカッコいいと思う。
実数の定義は、有理数と無理数の総称です。実数と０の関係。０は実数に含まれます。また、「０」は整数の１つです。整数の詳細。実数と分数、小数の関係分数と小数も実数に含まれます。なお、分数と小数は、整数でない有理数です。
実数と虚数の関係
虚数は、二乗して「負の数」になる数です。実数は、有理数と無理数の総称です。有理数は整数と整数でない有理数、無理数は循環しない無限小数のことです。有理数、無理数、整数などの意味も理解しましょう。
※暗記と計算を見直そう
新しい単元に入ると、授業スピードについていけず数学が分からなくなってしまったという経験は誰しもあるのではないでしょうか。そんな時は大抵の場合、何からどうやって勉強すれば良いのかすらわからず、途方に暮れてしまうことが多いと思います。
①まずは計算から始めよ
数学の成績を伸ばしたいと思っている生徒は、とにかく焦ります。授業はどんどん先に進んでいきますし、テストも近づいてくる。そうすると、今度は諦めの気持ちが出てきてしまい、結局テスト前にはヤマをはることになってしまいます。テストで高得点を取りたいという思いが強いため、難しい問題とずっとにらめっこをした結果、全くわからずに時間だけが過ぎていく・・・ということが往々にして起こります。焦っていても成績は伸びませんし、せっかくテストに出る問題を事前に演習しても、各単元の計算力が乏しいと、ミスをしたり時間が足りなくなったりと、勉強時間に見合った点数が取りにくくなります。最低限、新しい単元の計算は難なくこなせるレベルにしておきたいところです。
②新しい概念が出てきたときは定義を覚えよ
中学数学においては文字式、指数、ルートなど、高校数学においては三角比や対数、ベクトルなど…つまずくほとんどの生徒が、定義や演算ルール、公式を覚えていません。数学に限らず、新しい概念が出てきたときはその定義を覚えることが必須です。例えば関数。中学範囲から遡っていくと、直線はy=ax+bという式で定義され、放物線はy=ax2+bx+cと表せます。「直線の式を求めよ」や「放物線の式を求めよ」という問題では、直線や放物線の「定義」さえ知っていれば、どんな形をしているか（y=ax+b、y=ax2+bx+cなど）最初からわかっているので、あとはa,b,cなどの値さえ求めればいいんだな、という道筋が立てられます。定義を覚えていなければいくら考えても解けるわけがありません。 -
2022/10/23
論理的に考える楽しさ
勉強できる人は
目の前の問題を解くだけでなく、
その背後の基礎概念が頭に入ってるか
定期的にチェックしていることが多い
苦手な生徒は
とにかく目の前の問題解けたらそれでお終い
どこかで自分でチェックする癖づけは必要
①数学と民主主義は、どちらも古代ギリシャで誕生しました。数学は、宗教や権威に頼らず、万人に受け入れられた論理だけを使って、真実を見出す方法です。上から押し付けられた結論を受け入れるのではなく、一人ひとりが自分の頭で自由に考え判断する。このような姿勢は、民主主義が健全に機能するためにも必要です。数学と民主主義が、ほぼ同時代に同じ場所で現れたのは、偶然ではないと思います。
②１００万人が間違ってると言ったって、論理的に正しいことが証明できればそれは正しい。論理は権威や多数派による間違った情報に待ったをかけ、自分の頭で考えることによって本当の真実を発見する強力な武器です。数学は、その武器を手に入れるための冒険なのです。
③数学は、論理の積み重ねだけなので、いったんわかってしまうと、覚えないといけないことはほとんどない。
中学や高校でうんざりするくらいたくさんの公式がでてきますが、そのほとんどは論理的に導き出すことができます。
覚える必要がないって事に気づいたとき、数学って面白いなあって感じました。
また、理屈っぽい人、細部まで納得しないと気が済まない人にとって、
ごまかしなく論理的に納得ができるという点も数学の魅力であり、面白さなのではないでしょうか。 -
2022/10/21
数学の面白さ
力がある人はミスに気付くのがうまい。
それが力がある人と呼ばれる所以でもある。
内容を理解した後の演習量が半端ない。
これまでの自分のミス遍歴を
把握できているのも強みだ。
まずは、数学のどういう点が面白いのかについて
①解いてる時のアドレナリン
数学の問題を解いてるとき、特にすぐにどう解いていいかわからない問題を解いてるとき、解いているだけでワクワクする、夢中になれる。そんな体験ができるのが、数学の面白さだと思います。数学が苦手でも、今の実力より少し上の問題（自分にとって簡単すぎず、難しすぎない問題）に挑戦することで、同じように夢中になったりワクワクすることができます。簡単な数学パズルや小学校で習う応用問題などでもいいと思います。
１問解けたら次も解きたいっていう気持ちになって、時間がたつのを忘れる。勉強じゃなくて、まるでゲームをやっているような感覚、何かに取り憑かれたような感覚になれます。ランナーズハイ（マラソンなどで長時間走り続けると苦しさが消え、気分が高揚してくる作用）に似た感覚を味わうことができます。
②解けた時のアハ体験
これはまさに、数学の最も面白い部分であり、多くの数学者もこの面白さに夢中になっている部分といえます。問題が解けた時、わからなかったことがわかった時、アハ体験ができます。アハ体験というのは、「あっ！」とひらめいたこの瞬間のことを言います。英語のＡｈａは日本語では、「あっ」と訳されますが、脳や心の声がＡｈａっと感じる経験こそがアハ体験です。だれでもこのような経験は、数学以外でも感じたことはあると思います。こういう体験は、気持ちいいし、やみつきになります。あっと感じられるということは、脳を思いっきり使っていた証拠です。
アハ体験によって、頭の回転が早くなり集中力、記憶力もアップします。達成感と充実感、わかる喜び、自分すごいんじゃないかって思えることは、脳科学的にもいいとされ、幸せを感じることにも関係してきます。
数学をやっていれば毎日こんな感覚になれる、それも数学の面白さだと思います。