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2020/06/03
集合は数学の基礎
ほとんどの数学の基礎は集合にある大切な概念です。しかし，中学生・高校生が数学の中で集合をハッキリと意識することはそれほどないと思います。中学・高校数学でも「場合の数」や「確率」などの分野で積極的に集合を扱う場面もあるため，集合の扱いには慣れておく必要があります。
集合の基礎知識集合は以下のように定義します。数学的な対象の集まりを集合という。たとえば、1以上10以下の整数の集合。1以上10以下の実数の集合。自然数全部の集合。など集合には様々なものが考えられます。厳密に集合を定義していなくても、小学生・中学生の範囲で困ることはまずあり得ませんから、集合とは「数などの数学的なモノの集まり」とざっくり思っていて大丈夫です。
集合の表し方①
集合を構成する１つ１つの対象を要素(または元ゲン)という。たとえば、「6の正の約数の集合」をAとするとき、1,2,3,6はいずれもAの要素です。集合の表し方…集合は中括弧{ }で要素を括ることで表すことができます。たとえば、「1と3と5と7を要素とする集合」は{1,3,5,7}「12の正の約数全部の集合」は{1,2,3,4,6,12}「正の偶数全部の集合」は{2,4,6,8,10･･･}「整数全部の集合」は{･･･-2,-1,0,1,2,･･･}などと表します(このように，要素を書き並べて表す方法を「内包的記法」)数の集合について丁寧に個別指導できる個人塾です。
集合の表し方②
また，12の約数全部の集合{1,2,3,4,6,12}は{x｜xは12の約数}と表すこともできます．これはどういう表し方かというと、前の {x｜ の部分で，まず「この集合は x 全部の集合である」と宣言し、後ろの｜xは12の約数}の部分で、「 x は12の約数である」と宣言しています。併せて、「 x は12の約数であり，この集合は x全部の集合である」ということになります。(このように、「要素」と「要素が満たす条件」で表す方法があります)たとえば，{2n-1｜n=1,2,3,･･･}は「正の整数nに対して，2n-1と表せるものの集合」、{2n｜n=1,2,3,･･･}は「正の整数nに対して，2nと表せるものの集合」という意味になります。実際に要素を書き並べると、それぞれ{1,3,5,7,9,･･･}(正の奇数全部の集合)、{2,4,6,8,10,･･･}(偶数全部の集合)となります。この条件を用いて表す方法を用いると、書き並べて表すことができない集合も表すことができます。集合の要素と部分集合x が集合Aが要素であるとき，x∈Aと書き、 x はAに属するという。たとえば，A={･･･,-6,-3,0,3,6,･･･} (3の倍数の集合)とするとき、3∈A、6∈A、-24∈Aなどとなります。
集合は数学の出発点です。小学生・中学生の頃から、集合（物の集まり）の考え方に慣れてほしいと思います。指導の合間にも数学的な雑談ができるのも個別指導塾・個人塾サクシードの良いところです。
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2020/06/02
面白すぎる数学の本当の魅力とは？
数学は、本当に面白いです。今まで多くの数学者たちがその面白さの虜になり、人生のすべてを捧げてきました。数学者でなくても、数学に夢中になった数学好きの老若男女が無数にいます。数学中心に世界が回っているといっても過言ではありません。小学生・中学生も難問を解決したら喜びを感じるでしょう。
①解いてる時のアドレナリン
数学の問題を解いてるとき、どう解いていいかわからない問題を解いてるとき、解いているだけでワクワクする、夢中になれる。数学が苦手でも、今の実力より少し上の問題（自分にとって簡単すぎず、難しすぎない問題）に挑戦することで、同じように夢中になったりワクワクすることができます。簡単な数学パズルや小学校で習う応用問題などでもいいと思います。ランナーズハイに似た感覚を味わうことができます。個別指導の個人塾でたくさんの問題を解きながらアハ体験を味わってもらいます。
②解けた時のアハ体験
これはまさに、数学の最も面白い部分であり、多くの数学者もこの面白さに夢中になっている部分といえます。問題が解けた時、わからなかったことがわかった時、アハ体験ができます。テーラー展開・マクローリン展開がわかったとき感動しました。こういう体験は、気持ちいいし、やみつきになります。達成感と充実感、わかる喜び、自分すごいんじゃないかって思えてきます。
③芸術的美しさ
「数は何故美しいのか。それはベートーベンの交響曲第９番がなぜ美しいのかと訊ねるようなものだ。君がその答を知らないのであれば、他の誰も答えることはできない。私は数が美しいということを知っている。もし数が美しくないのなら、美しいものなど何も無い。」数学者ポール・エルデシュ
④論理的に考える楽しさ
数学は、宗教や権威に頼らず、万人に受け入れられた論理だけを使って、真実を見出す方法です。上から押し付けられた結論を受け入れるのではなく、一人ひとりが自分の頭で自由に考え判断する。このような姿勢は、民主主義が健全に機能するためにも必要です。数学と民主主義が、ほぼ同時代に同じ場所で現れたのは、偶然ではないと思います。
１００万人が間違ってると言ったって、論理的に正しいことが証明できればそれは正しい。小学生・中学生の貴方でも論理で打ち勝つことができます。論理は権威や多数派による間違った情報に待ったをかけ、自分の頭で考えることによって本当の真実を発見する強力な武器です。数学は、いったんわかってしまうと、論理の積み重ねだけなので、覚えないといけないことはほとんどない。
小学生や中学生の皆さんには、「数学は楽しい」「数学は美しい」と感じてもらいたいのです。しょーもないお受験で解法を暗記させられ決して数学嫌いにならないようにと願っています。個人塾の個別指導塾だからこそそのような話ができるゆとりがあります。 -
2020/06/01
一次関数・座標平面上の図形の面積の２等分（中学２年生）
座標平面上の三角形の面積を２等分する問題は、一次関数では絶対におさえておく必要があります。２等分の仕方には、大きく分けて２つのパターンがあります。個人塾の個別指導塾です。丁寧に指導します。
《パターン１》三角形の３つの頂点のうちの１つを通る直線により三角形の面積を２等分するパターン（２つの面積の等しい三角形に分けられる）⇒面積を２等分する直線は、三角形の頂点の１つとその頂点の対辺の中点を必ず通ることを利用
《パターン２》三角形の頂点以外の点を通る直線により、三角形の面積を２等分するパターン（面積の等しい三角形と四角形に分かれる）⇒２等分する直線と三角形の交点の座標を文字（パラメータ）で表し、問題の条件からパラメータを決定し、座標を求める。
★平行四辺形の面積を２等分する。図形の特徴とは何を指すのか、そのヒントは「点対称な図形の面積を2等分する方法」にあります。平行四辺形（長方形、ひし形、正方形を含む）の場合は、その対角線の交点を通る直線が２等分線になります。これらのテクニックは高校の数学入試問題の大問を解く上でも役に立つのでしっかり覚えておきましょう。
★台形の場合ですが、上底の中点Ｅと下底の中点Ｆを結んだ線分ＥＦの中点Ｇを求めます。つまり中点と中点を結び、そのまた中点を通る直線は台形の面積を２等分すると覚えておくと良いと思います。但し、上底および下底と交わるものは台形の面積を２等分するのですが、上底と下底の少なくとも一方と交わらない直線は台形の面積の２等分線にならないので注意しましょう。一次関数は、中学生にとって関数の入り口です。しっかりと理解を深めてください。
公立高校入試問題で、台形の２等分の出題は一度だけしか見かけたことがありません。個別指導塾の個人塾です。理解できるまで、わかりやすく指導できます。 -
2020/05/31
数学ができたら理科計算はできる♪（中学生）
①質量パーセント濃度
質量パーセント濃度の求め方の公式は、（質量パーセント濃度 [%] ）= （溶質の質量）÷（溶液の質量）×100だ。小学校では、「水溶液」と習うけれど、溶かすものが水とは限らないので「溶液」というだけです。「溶かす物質の重さ」を「溶けてできた液体の重さ」で割って「100」をかければいいんです。質量パーセント濃度の求め方を「溶質」と「溶媒」だけで表すと？？質量パーセント濃度の求め方の公式は、（質量パーセント濃度 [%] ）=（溶質の質量）÷（溶液の質量）×100だったね。基本的にはこの形なんだけど、たまに、（質量パーセント濃度 [%] ）= （溶質の質量）÷（溶質の質量 + 溶媒の質量）×100っていう公式の形をしているときもあります。（溶質＝溶かされる物）（溶媒＝溶かすもの）溶質・溶媒・溶液を整理する。例えば、ポカリのどいつが、溶質・溶媒・溶液に当たるか整理してみよう。「溶質」は溶かす物質のことだから、ポカリの粉。「溶媒」は溶質を溶かす物質だから、水。「溶液」は溶質を溶媒に溶かしてできた液体のことだから、完成したポカリのことです。［割り算］（小学生）〔小学生算数・中学生数学にも濃度問題として出題されます。「質量パーセント濃度」という言葉に慣れてないだけ〕サクシードは理数塾です。個人塾であり個別指導塾です。理科も指導いたします。
②圧力の求め方（単位はパスカル[Pa]）
圧力[Pa] = 面を垂直におす力[N] ÷ 力がはたらく面積 [m²]ですね。たとえば、面積2m²の板の上から6Nの力で壁を押してやったとき、壁にかかる圧力は、 面を垂直におす力[N] ÷ 力がはたらく面積 [m²]圧力とは一体何もの？「圧力に一体どういう意味があるの？？」圧力は簡単にいうと、力の密度みたいなもの。力には物体を変形させたり、衝撃を与えたり、速度を変化させたりする働きがあったよね？圧力が高いってつまり、小さい面積に力が集中してるってこと。だから、圧力が高いと、それだけ、力が働いている箇所を変形させたり、衝撃を与えたり、速度を変化させる作用が強くなるんだ。たとえば、美女に足を踏まれちゃった場面を想像してみて。もし、スニーカーで足を踏まれても、「あ、すみません」って感じで、痛みを感じないで済むかもしれないよね？（中学１年生理科） だけど、もし、足を踏んできた女性がハイヒールを履いていた場合。これは痛いじゃ済まない。思わず、「アウチ！」と叫んでしまうはず。ハイヒールで踏まれた方が数千倍も痛いと思うんだよね。その理由は、ハイヒールのかかとの面積が、スニーカーの底よりも小さいから。
［整数÷小数（整数÷分数）だけでPa計算ができる（小学生６年、中学生）］Pa（パスカル）N（ニュートン）などの用語に慣れるだけです。
中学３年で習う落下運動は、二次関数で表せます。 つまり、数学ができたらたいていの理科計算問題は解決できる。個別指導塾の個人塾です。数学を基礎として理数を指導します。
しかも「四則計算」だけでね。なんて簡単なんでしょう（足し算・引き算・かけ算・割り算）数学的思考は中学生…高校生…大学生と連続性があります。 -
2020/05/29
【鶴亀算が解けなくても東大に合格できる】
日本の中学受験制度・算数はなぜ「特殊算」の文章問題を勉強しなければいけないのでしょうか？”お受験”しなければほとんど小学校では必要ないし、方程式を早く取り入れたほうが数学への早道ではないのでしょうか？特異な中学入試の必須条件があるからテクニックを学ばせる塾が必要になります。しかも受験が終われば何の役にも立たない。サクシードは個別指導塾であり個人塾です。系統性のある理数を指導します。
中学校以上で習う方程式などが、中学受験では言わば「禁じ手」とされています。それでも受験生に差をつけなければならないため、「算数の範囲内」で考え出された「特殊な算法」のデキの良し悪しが重要視されてしまいます。鶴亀算その他が、論理的に物事を考える訓練になる一面はあります。また、これらを習ったおかげで、中学以後で方程式がすんなり飲み込めるようになる子もいます。（プラスの効果）
ところが逆に、小学算数に引きずられて、中学生以後の数学的（抽象的）思考法につまずいてしまう子もいます。（教育評論家の中山治氏も例を挙げていますし、実際に「東大に入ったけれども、中学受験したせいで、数学は比較的、苦手」と自分で分析する人もいます）（マイナスの効果）プラス・マイナスは人によって、大きく違ってきます。ただ、難関中学の入試問題などは、中学以後につながらない、あまりに特殊な算法に精通するという、「袋小路」に陥っている気がします。「論理的な思考力を養う」という余裕もなく、「解法だけ覚えて当てはめる」練習ばかりをしてしまう危険もあります。その証拠に、中学受験をせずに東大に入学してくるような人には、難関中学の算数入試問題は全く歯が立ちません。（実例、多数）個人塾の個別指導塾です。理数に関して連続性のある指導をします。
逆に言うと、鶴亀算が解けなくても、難関大学入学につながる数学力は身に付く、ということです。また、「東大生も解けないような鶴亀算を解けた」子どもたちが、必ずしも、大学受験学力までつながっていないことも明らかです。（↑これと比較したときに、どんな難関でも、高校数学入試問題は、東大に入学できる人なら確実に解けます。数学のカリキュラムに連続性があるからです。）中学お受験的◇◇算には数学的連続性がありません。
事実、附属小学生⇒中学へ進んだ生徒に方程式を指導しているのに、小学生でやったお受験解法が時々顔を出します。数学の連続性を遮断する働きをします。