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2020/06/10
★ ケチケチ定義（言葉の正確な意味や用法）
形の本質をずばっと捉えている性質を使って形の仕組みを説明したものが定義です。この時、定義に含める仕組みは最小限のものにしている、ということです。定義にもりこむものをできるだけケチって、出発点にする仕組みをできるだけシンプルにしておくのです。数学では定義を考える際に、２つのしかたでケチっていますが、その２つのしかたに共通しているのは、ある仕組みからルールにしたがって ストーリーを展開することを、大切にするという点です。ところが小学生・中学生には定義のルールが明確でない生徒さんが多いです。個人塾の個別指導塾では、定義について丁寧に指導します。
第１のケチり方は、ある仕組みからストーリーを展開して見出せる情報は定義に含めない、ということです。例えば、平行四辺形では向かい合う辺は同じ長さになっていたり、向かう合う角は大きさが等しくなっています。しかし、そうした性質は「向かい合う辺が２組とも平行になっている」という定義に含めた仕組みから導くことができるので、できるだけケチるという点から、定義には含めていません。このケチり方のメリットは、チェックの際に手間が最小限ですむことです。この形が本当に平行四辺形かを確認するのに、２つ、３つの条件を確認するよりも、「向かい合う辺が２組とも平行になっているかな」と１つの条件を確認するだけですむ方が楽です。定義をできるだけケチってシンプルにしておくことは、こうしたチェックを楽にします。
第２のケチり方は、できるだけ多くの形の話を１つの定義ですませてしまおうということです。例えば「向かい合う辺が２組とも平行になっている」という仕組みを持っている形のことは、すべて１つの定義ですませてしてしまうのです。例えば、みなさんが「平行四辺形」ときいて思い浮かべるイメージでは、隣り合う角の大きさは違っているのではありませんか。そこで、平行四辺形の定義の中にこの「隣り合う角の大きさは異なる」という条件を含めたら、どうなるでしょう。この場合、隣り合う角がどちらも90°である長方形や正方形は平行四辺形ではないことになってしまいます。でも、長方形や正方形でも「向かい合う辺が２組とも平行になっている」ので、当然長方形や正方形も持っているはずです。このとき、わざわざ「その性質を、平行四辺形と長方形と正方形は持っている」と説明するのは手間がかかります。ここで「向かい合う辺が２組とも平行になっている」という仕組みを持っている形のことは、すべて１つの定義ですませるようにしておけば、長方形や正方形も平行四辺形の一種ということになりますから、「その性質を、平行四辺形は持っている」と説明すればよいことになります。実は上の説明で「長方形や正方形」と書いていますが、長方形の本質を示す仕組みを「４つの角が等しいこと」だとして、これで長方形を定義すると、正方形も４つの角が等しいので、正方形は長方形の一種だということになり、上の「長方形や正方形」の部分は実は「長方形」だけでよくなります。説明の文字数が節約できて、ケチケチの精神にぴったりです。個別指導の個人塾だからこそ、定義や定理について話すことができます。
このように小学生・中学生には、定義はシンプルにルールづけられていることを知ってほしいと思います。
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2020/06/04
「ぼくには時間がない」
わずか21歳のとき決闘で死んだフランスの天才数学者エバリスト・ガロア（Évariste Galois（1811.10.25～1832.5.31））は、フランス革命から20年の後パリ郊外に生まれた。15歳の頃、学校で数学の勉強をして強い興味を感じたけれど、間もなく教科書に不満を感じて、数学の専門書を自分で読んで勉強した。
▼工科大学の受験に2回失敗した。失敗したのは面接官の質問が余りに簡単で、ガロアには幼稚に見えて、まともに答えなかったためだといわれている。やがて数学の論文を書いて発表するようになったが、提出した原稿を教授に紛失されてしまったり審査する学者に理解できない内容であったために掲載を拒否されたりした。▼ガロアが研究していたのはどんなことだったのだろう。個別指導塾の個人塾ではこんなお話もできます。
当時の多くの数学者はax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0（５次方程式）にも解の公式があるに違いない。ややこしいだろうけれどないわけない、と考えていた。ガロアが証明したのは、「5次以上の方程式には一般解がない」というものだ。この証明は決定的に重要だったのは、結論を導くために作られた理論だった。いわゆる群論である。群論は、他の数学のようにゴールがあって数式を丹念に追っていけば理解できるようなものとは大きく異なる。言ってみれば、人の思考や行為そのものといった操作を対象にした数学なのだ。
▼当時のフランスは、ナポレオンのあとフランス革命の成果をなしにしようとする反動の時代にあった。ガロアの純粋な精神は反動政治を許そうとせず、エコール・ノルマル在学中から共和派として革命運動に参加、せっかく入った大学を1年で退学処分にされている。フランス7月革命の闘士でありながら、恋人をめぐる決闘に散ったのだ。決闘した殺し屋は、 相手のガロアがどんなすばらしい数学者であるかまったく知らない。
▼ガロアは自分の中にすばらしい数学の発見があるのに、自分にはわかっているのに、誰にも知らせずに死ぬかもしれない。彼は徹夜でそれまでに得た数学の結果をまとめて、友人シュバリエ宛に手紙として29日付で発送した。決闘の日の朝、「ぼくには時間がない」とノートの余白に走り書きながら書き上げた論文が、その後の数学を変えた。いわゆる「ガロア理論」だった。それが遺言だった。ロマンあふれる話ができるのは個別指導の個人塾だからです。
▼……このような時代を経て今日がある。高校で習う数学の一つ一つにも、最初の発見のときがある。数学も正しく勉強すれば、いろいろ考えることができるし、そうすることが君たちを鍛え力をつける。
★小学生・中学生・高校生にもロマンあふれる数学者を紹介できるのも個人塾の良いところです。（参考；すばらしい数学者たち・矢野健太郎） -
2020/06/03
集合は数学の基礎
ほとんどの数学の基礎は集合にある大切な概念です。しかし，中学生・高校生が数学の中で集合をハッキリと意識することはそれほどないと思います。中学・高校数学でも「場合の数」や「確率」などの分野で積極的に集合を扱う場面もあるため，集合の扱いには慣れておく必要があります。
集合の基礎知識集合は以下のように定義します。数学的な対象の集まりを集合という。たとえば、1以上10以下の整数の集合。1以上10以下の実数の集合。自然数全部の集合。など集合には様々なものが考えられます。厳密に集合を定義していなくても、小学生・中学生の範囲で困ることはまずあり得ませんから、集合とは「数などの数学的なモノの集まり」とざっくり思っていて大丈夫です。
集合の表し方①
集合を構成する１つ１つの対象を要素(または元ゲン)という。たとえば、「6の正の約数の集合」をAとするとき、1,2,3,6はいずれもAの要素です。集合の表し方…集合は中括弧{ }で要素を括ることで表すことができます。たとえば、「1と3と5と7を要素とする集合」は{1,3,5,7}「12の正の約数全部の集合」は{1,2,3,4,6,12}「正の偶数全部の集合」は{2,4,6,8,10･･･}「整数全部の集合」は{･･･-2,-1,0,1,2,･･･}などと表します(このように，要素を書き並べて表す方法を「内包的記法」)数の集合について丁寧に個別指導できる個人塾です。
集合の表し方②
また，12の約数全部の集合{1,2,3,4,6,12}は{x｜xは12の約数}と表すこともできます．これはどういう表し方かというと、前の {x｜ の部分で，まず「この集合は x 全部の集合である」と宣言し、後ろの｜xは12の約数}の部分で、「 x は12の約数である」と宣言しています。併せて、「 x は12の約数であり，この集合は x全部の集合である」ということになります。(このように、「要素」と「要素が満たす条件」で表す方法があります)たとえば，{2n-1｜n=1,2,3,･･･}は「正の整数nに対して，2n-1と表せるものの集合」、{2n｜n=1,2,3,･･･}は「正の整数nに対して，2nと表せるものの集合」という意味になります。実際に要素を書き並べると、それぞれ{1,3,5,7,9,･･･}(正の奇数全部の集合)、{2,4,6,8,10,･･･}(偶数全部の集合)となります。この条件を用いて表す方法を用いると、書き並べて表すことができない集合も表すことができます。集合の要素と部分集合x が集合Aが要素であるとき，x∈Aと書き、 x はAに属するという。たとえば，A={･･･,-6,-3,0,3,6,･･･} (3の倍数の集合)とするとき、3∈A、6∈A、-24∈Aなどとなります。
集合は数学の出発点です。小学生・中学生の頃から、集合（物の集まり）の考え方に慣れてほしいと思います。指導の合間にも数学的な雑談ができるのも個別指導塾・個人塾サクシードの良いところです。 -
2020/06/02
面白すぎる数学の本当の魅力とは？
数学は、本当に面白いです。今まで多くの数学者たちがその面白さの虜になり、人生のすべてを捧げてきました。数学者でなくても、数学に夢中になった数学好きの老若男女が無数にいます。数学中心に世界が回っているといっても過言ではありません。小学生・中学生も難問を解決したら喜びを感じるでしょう。
①解いてる時のアドレナリン
数学の問題を解いてるとき、どう解いていいかわからない問題を解いてるとき、解いているだけでワクワクする、夢中になれる。数学が苦手でも、今の実力より少し上の問題（自分にとって簡単すぎず、難しすぎない問題）に挑戦することで、同じように夢中になったりワクワクすることができます。簡単な数学パズルや小学校で習う応用問題などでもいいと思います。ランナーズハイに似た感覚を味わうことができます。個別指導の個人塾でたくさんの問題を解きながらアハ体験を味わってもらいます。
②解けた時のアハ体験
これはまさに、数学の最も面白い部分であり、多くの数学者もこの面白さに夢中になっている部分といえます。問題が解けた時、わからなかったことがわかった時、アハ体験ができます。テーラー展開・マクローリン展開がわかったとき感動しました。こういう体験は、気持ちいいし、やみつきになります。達成感と充実感、わかる喜び、自分すごいんじゃないかって思えてきます。
③芸術的美しさ
「数は何故美しいのか。それはベートーベンの交響曲第９番がなぜ美しいのかと訊ねるようなものだ。君がその答を知らないのであれば、他の誰も答えることはできない。私は数が美しいということを知っている。もし数が美しくないのなら、美しいものなど何も無い。」数学者ポール・エルデシュ
④論理的に考える楽しさ
数学は、宗教や権威に頼らず、万人に受け入れられた論理だけを使って、真実を見出す方法です。上から押し付けられた結論を受け入れるのではなく、一人ひとりが自分の頭で自由に考え判断する。このような姿勢は、民主主義が健全に機能するためにも必要です。数学と民主主義が、ほぼ同時代に同じ場所で現れたのは、偶然ではないと思います。
１００万人が間違ってると言ったって、論理的に正しいことが証明できればそれは正しい。小学生・中学生の貴方でも論理で打ち勝つことができます。論理は権威や多数派による間違った情報に待ったをかけ、自分の頭で考えることによって本当の真実を発見する強力な武器です。数学は、いったんわかってしまうと、論理の積み重ねだけなので、覚えないといけないことはほとんどない。
小学生や中学生の皆さんには、「数学は楽しい」「数学は美しい」と感じてもらいたいのです。しょーもないお受験で解法を暗記させられ決して数学嫌いにならないようにと願っています。個人塾の個別指導塾だからこそそのような話ができるゆとりがあります。 -
2020/06/01
一次関数・座標平面上の図形の面積の２等分（中学２年生）
座標平面上の三角形の面積を２等分する問題は、一次関数では絶対におさえておく必要があります。２等分の仕方には、大きく分けて２つのパターンがあります。個人塾の個別指導塾です。丁寧に指導します。
《パターン１》三角形の３つの頂点のうちの１つを通る直線により三角形の面積を２等分するパターン（２つの面積の等しい三角形に分けられる）⇒面積を２等分する直線は、三角形の頂点の１つとその頂点の対辺の中点を必ず通ることを利用
《パターン２》三角形の頂点以外の点を通る直線により、三角形の面積を２等分するパターン（面積の等しい三角形と四角形に分かれる）⇒２等分する直線と三角形の交点の座標を文字（パラメータ）で表し、問題の条件からパラメータを決定し、座標を求める。
★平行四辺形の面積を２等分する。図形の特徴とは何を指すのか、そのヒントは「点対称な図形の面積を2等分する方法」にあります。平行四辺形（長方形、ひし形、正方形を含む）の場合は、その対角線の交点を通る直線が２等分線になります。これらのテクニックは高校の数学入試問題の大問を解く上でも役に立つのでしっかり覚えておきましょう。
★台形の場合ですが、上底の中点Ｅと下底の中点Ｆを結んだ線分ＥＦの中点Ｇを求めます。つまり中点と中点を結び、そのまた中点を通る直線は台形の面積を２等分すると覚えておくと良いと思います。但し、上底および下底と交わるものは台形の面積を２等分するのですが、上底と下底の少なくとも一方と交わらない直線は台形の面積の２等分線にならないので注意しましょう。一次関数は、中学生にとって関数の入り口です。しっかりと理解を深めてください。
公立高校入試問題で、台形の２等分の出題は一度だけしか見かけたことがありません。個別指導塾の個人塾です。理解できるまで、わかりやすく指導できます。